賓州大學的研究人員引入了一種新方法，利用人工智慧來解決數學中最棘手的挑戰之一：反偏微分方程（PDE）。這些方程式對於理解複雜系統至關重要。但求解方程式長期以來一直在突破數學和計算的極限。
該團隊的解決方案稱為“Mollifier Layers”，透過改進流程背後的數學來改進人工智慧處理這些問題的方式。這種方法可以透過多種方式使用，而不是簡單地提高處理能力。從破解遺傳活動到改善天氣預報。
Eduardo D. Glandt Endowed 主席材料科學與工程 (MSE) 傑出教授、該研究的高級作者 Vivek Shenoy 表示：“解決逆問題就像觀察池塘中的漣漪，然後回頭看看卵石落下的位置。” 機器學習研究交易 （TMLR）它將在神經資訊處理系統會議 (NeurIPS 2026) 上展示。 “你可以清楚地看到結果。但真正的挑戰是推斷根本原因。”
研究人員沒有依賴更強大的硬件，而是專注於提高基礎數學「現代人工智慧通常透過擴大計算規模來進步，」MSE 博士生、該研究的共同第一作者 Vinayak Vinayak 說。 “但是一些科學挑戰需要更好的數學。這不僅僅是更多的計算。”
為什麼反偏微分方程在科學中很重要？
微分方程是科學建模的核心。它解釋了系統如何隨時間變化。無論是人口成長熱流或化學反應
偏微分方程式透過記錄系統如何在空間和時間上演化來進一步擴展這個想法。科學家利用它們來研究從天氣模式到熱量如何透過材料傳播的一切。甚至 DNA 在細胞內是如何組織的。
反偏微分方程更進一步。相反，它根據已知規則預測結果。它們使科學家能夠從觀察到的數據開始，然後逆向工作，找到驅動這些觀察的隱藏力量。
「多年來，我們一直使用這些方程式來研究染色質，即細胞核內 DNA 的折疊狀態。微生物如何在活細胞內組織自身？」謝諾伊說。 「但我們仍然遇到同樣的問題：我們可以看到結構並對其形成進行建模。但我們無法可靠地推斷出驅動該系統的表觀遺傳過程。也就是說，化學變化有助於控制哪些基因處於活躍狀態。我們越是嘗試優化現有方法，就越清楚數學需要改變。”
重新思考人工智慧如何處理複雜的數學
這些方程式背後的主要想法是產生影響。它衡量事物如何變化。簡單的導數可以顯示某物增加或減少的速度。而高階導數則捕捉更複雜的模式。
傳統上，人工智慧系統使用稱為遞歸自微分的過程來計算這些導數。該方法迭代計算變化。當資料透過神經網路移動時，它就是現代人工智慧的基礎。
然而，這種方法在處理複雜系統和嘈雜資料時會受到影響。它可能不穩定並且需要大量的電腦資源。
研究人員將其與反覆放大一條波浪線進行比較，每一步都會放大缺陷。這使得最終結果不太可靠。為了克服這個問題，團隊意識到他們需要一種在分析數據之前平滑數據的方法。
Mollifier 層提供了更聰明的解決方案。
答案來自數學家 Kurt Otto Friedrichs 在 20 世紀 40 年代提出的一個想法，該想法描述了「mololifier」是一種旨在平滑異常或噪音函數的工具。
研究人員透過採用這一概念，在人工智慧模型中引入了「熔化層」。此層在計算變換之前對輸入資料進行平滑處理。避免了傳統方法帶來的不穩定。
「最初我們認為這個問題與神經網路的架構有關，」賓州大學工程科學計算碩士課程的畢業生、該論文的共同第一作者 Ananyae Kumar Bhartari 說。 “但仔細調整網路後，我們最終發現瓶頸在於遞歸自動微分。”
結果是驚人的。這種新方法減少了雜訊並顯著降低了求解這些方程式所需的計算成本。
使用“平滑層”在測量前平滑訊號。這大大降低了噪音和能源消耗。 「這有助於我們更可靠地求解這些方程，而無需承擔相同的計算負擔，」巴塔里說。
揭開 DNA 組織的秘密
這種方法最有前途的應用之一是理解染色質。這是細胞內 DNA 和蛋白質的複雜結構
這些結構的運作規模極為小。但它在決定如何打開或關閉基因方面發揮著重要作用。
Shenoy 說：“這些結構域的大小只有 100 奈米，但因為它們的可及性決定了基因表達，而且因為基因表達控制細胞身份、功能、衰老和疾病，所以這些結構域在生物學和健康中發揮著重要作用。”
透過估計控制基因活動的表觀遺傳反應的速率，新的人工智慧方法可以幫助科學家超越簡單地觀察染色質的範圍。相反，它是對隨著時間的推移將如何變化的預測。
Vinayak 補充說：“如果我們能夠追蹤這些反應速率在衰老、癌症或發育過程中如何演變，這就創造了新療法的潛力。如果反應速率控制染色質組織和細胞命運，改變這些速率可以將細胞重定向到所需的狀態。”
超越生物學：廣泛的科學意義
軟化層的可能用途超出了遺傳學的範圍。許多科學分支包括材料研究和流體動力學。它涉及複雜的方程式和嘈雜的數據。
這個新框架可以提供一種更穩定、更有效的方式來揭示各種系統中的隱藏參數。
研究人員認為這是朝著更大目標邁出的一步：將觀察轉化為更深入的理解。
「最終的目標是從觀察複雜的模式轉向量化創建這些規則的規則，」謝諾伊說。 “如果你了解管理系統的規則，現在你就可以改變它。”
這項研究是在賓州大學工程與應用科學學院進行的。並獲得美國國家癌症研究所 (NCI) 獎 U54CA261694 (VBS) 的支持；美國國家科學基金會 (NSF) 機械工程中心 (CEMB) 授予 CMMI -154857 (VBS)； NSF 撥款 DMS -2347834 (VBS)；美國國家生物醫學成像和生物工程研究所授予 (NIB7535351535153)； R01EB030876 (VBS) 獎項，美國國家普通醫學科學研究所 (NIGMS) 授予 R01GM155943 (VBS) 獎項。
