近一個世紀以來，量子力學的數學語言一直依賴複數，儘管創始人埃爾文·薛定諤從未對這種選擇感到滿意。複數是具有虛部的數學量。並被廣泛用於使物理計算變得更容易。新的理論研究重新審視了薛丁格最早的想法之一。並認為量子力學只能用實數來解釋。這意味著沒有虛部的普通數。同時仍重建所有已知的能量預測。這項工作回顧了很大程度上被忽視的四階波動方程式。這些方程式涉及更高層次的數學變換。它是由薛丁格本人於 1926 年提出的，並以更精確的術語檢驗了其物理意義和實際後果。
這項研究是由南方衛理公會大學的 Nicos Makris 教授和布法羅大學的 Gary Dargush 教授進行的。他們證明了薛丁格最初的四階實值物質波方程式是對粒子如何像波一樣行為的數學描述。這導致能量值與當今教科書中所講授的熟悉的複值二階薛丁格方程式完全相同。然而，實值方程式也預測了一組反映已知值的附加能量值。該研究發表在同行評審期刊《Physics Open》。
正如馬克里斯教授所說，重新檢視這個想法的動機直接來自薛丁格的著作。薛丁格對複數的嚴重依賴感到不舒服，他寫道「複數波函數的使用」具有「一定的粗糙度」。波函數是一種數學工具，描述在特定位置找到粒子的機率。他認為系統的物理狀態可以用其實際功能並隨時間變化來表示。在這項研究中，研究人員回到了這個早期的公式，並使用現代數學工具和計算方法測試了他們的預測。同時它仍然忠於薛丁格的原始邏輯。
Makris 教授和 Dargush 教授表明，四階方程式正確地再現了眾所周知的量子系統的能階。這包括諧振子。這是一個簡單的模型，通常與彈簧上的質量進行比較。粒子被困在簡單的能量井中。這是像大理石捕集碗一樣捕獲顆粒的區域。氫原子是由一個質子和一個電子組成的最簡單的原子。這些系統經常被用作物理學中的基本範例，因為它們的行為很好理解。對於標準薛丁格方程式預測的所有正能階，真值版本會產生相同、匹配的負值。正如達庫什教授所解釋的「薛定諤的第四實值物質波方程式……建立薛定諤的第二值物質波方程的精確特徵值。連同負特徵值並反映相同的值」這裡的特徵值是指量子系統可以具有的允許能量。
為了得出這個結論，Makris 教授和 Darkush 教授開發了一個可變框架。它是一種透過減小尺寸或平衡數量來尋找答案的數學方法。這將波動方程式重塑為只能使用實數求解的形式。簡而言之，這將問題變成了與工程和經典物理學中已經使用的計算類似的問題。然後對這些方程式進行數值求解。這意味著在計算機的幫助下。透過使用將問題分成小部分的方法。可以管理它來幫助計算機計算出準確的結果。儘管能源格局發生了突然變化，但情況仍然如此。數值結果與已知解非常吻合。這證實了實值描述適用於許多不同的量子系統。
四階方程式的一個重要特徵是，它顯然取決於能源模式從一個地方到另一個地方的變化。這意味著作用在粒子上的力會隨著空間的變化而改變。這不僅僅是整體形狀。常用的薛丁格方程式避免了這種複雜性。這使得它更容易實施。 Makris 教授和 Dargush 教授解釋說，這種簡單性是有代價的。正如馬格里斯教授指出的那樣：「經典的薛定諤的二階物質波方程式…它是對物質波的更簡單的描述。這是因為它不涉及勢的空間導數。透過失去負鏡像能階。」空間導數描述了數量相對於位置的變化。這是一個類似坡度的概念，描述山坡的坡度變化。
這些負能量水平的物理意義尚不清楚。 Makris 教授和 Dargush 教授將這種情況與工程中的經典振動問題進行了比較。其中數學方程式經常預測沒有物理意義的特殊解決方案，因此被忽略。這裡預測的負量子能階是否與實際物理效應一致，還是應該以同樣的方式對待？這仍然是一個懸而未決的問題，本研究並不試圖回答。
但這項工作的重點是證明數學是好的並且可以可靠地計算。這項研究挑戰了人們普遍認為複數對於量子力學至關重要的觀點。透過證明使用完全實數的描述可以再現所有已知的量子能量。這也為薛丁格本人提出但最終在近一個世紀前被放棄的問題帶來了新的興趣。
總而言之，馬克里斯教授和達庫什教授的團隊認為，非相對論量子力學是量子理論的一個版本，適用於日常速度而不是近光速運動。它允許對數學上完整且數字準確的值進行真實的描述。儘管附加鏡面能階的解釋仍未解決。但這項研究為進一步調查提供了堅實的基礎。正如研究人員所強調的那樣：“非相對論量子力學有一個本質上有價值的解釋，它與負共振能階的存在有關”，這一發現引發了關於量子理論基本數學基礎的新討論。
期刊參考文獻
Makris N.、Dargush GF，“用薛丁格的四階物質波方程解釋量子力學的內在價值”，開放物理 2025 DOI： https://doi.org/10.1016/j.physio.2025.100262
關於作者
尼科斯·馬克里斯教授國際公認的結構地震工程專家。結構力學-動力學教授是德州達拉斯市南方衛理公會大學土木工程係阿迪家族百年教授。 Magris 在紐約州立大學布法羅分校獲得博士學位（1992 年）和理學碩士學位（1990 年）。美國;他擁有希臘雅典國立技術大學土木工程副學士學位（1988 年），此前曾在印第安納州聖母大學任教（1992-1996 年）；加州大學柏克萊分校（1996-2005）；希臘帕特雷大學（2003-2014）和中佛羅裡達大學（2014-2018）。他在檔案期刊上發表了 140 多篇文章。他指導了 16 篇博士論文、40 多篇碩士論文和五年級文憑論文，並擔任期刊編輯。地震和結構;副主編 ASCE 工程力學雜誌和動力學委員會主席 在同一本雜誌上。 他是以下組織的成員 歐洲科學院 歐洲科學院外籍院士 塞爾維亞科學與藝術學院的朋友 美國土木工程師學會 (ASCE) 以及著名的訪問團 英國皇家工程院;由於他獲得了許多國際獎項和獎項，包括 硬幣控制和檢查結構 George W. Housner 和 J·詹姆斯·R·克羅斯硬幣 （兩次）皆來自 ASCE， 沃爾特·L·胡貝爾土木工程研究獎 來自美國土木工程師協會 (ASCE) 的 謝東江獎 英國土木工程師學會 沙阿家族創新獎 來自美國地震工程研究所（EERI） 職業生涯獎項 來自美國國家科學基金會的 Makris 教授於 2003 年至 2009 年擔任希臘古尼米亞宙斯神殿修復計畫的主任： https://www.youtube.com/watch?v=LsxPSeWS52Q
達庫什教授紐約州立大學布法羅分校 (UB) 機械與航空航天工程 (MAE) 教授，擁有理論和計算力學方面的專業知識，研究領域包括固體力學和連續流體。結構工程設計最佳化和工程物理學最近，焦點集中在亞微米連續體的尺寸相關力學。他在那裡共同發展了相干耦合應變理論（C-CST）。這是由四階偏微分方程組控制的。它具有類似於公式 4 的有趣結構。泰國 薛丁格的量子力學理論序列 達古什的其他重要工作包括發展動態系統的捲積作用變分原理。多物理系統的邊界元方法。以及有關用於結構地震控制的被動能量分配系統的傑出論文。整體而言，他的研究計畫得到了 NSF、NASA、ONR、通用汽車、戴姆勒-賓士等機構的資助，並發表了一百五十多篇經過同行評審的期刊論文。三本書二十七篇博士論文。以及近萬次 Google Scholar 引用。他的八個博士學位。學生在世界各地的大學擔任教職。 Dargush 也擔任布法羅大學工程與應用科學學院 MAE 主席（2008-2014 年）和負責研究和研究生學習的副院長（2014-2017 年）。
