柏林自由大學數學家的一項新研究表明，平面瓷磚（也稱為鑲嵌）不僅僅是一種裝飾技術。鑲嵌 覆蓋包含一個或多個幾何形狀的表面，沒有間隙或重疊。研究人員表明，這些結構可以用作解決困難數學問題的精確工具。研究結果發表在由 Heinrich Begehr 和 Dajian Wang 撰寫並發表在該雜誌上的文章“數學之美：鑲嵌及其公式”中 相關分析– 這項工作匯集了複雜分析的想法。偏微分方程和幾何函數論
研究的核心是“Parquet Reflection Principle”，該方法涉及重複反射幾何形狀。穿過邊緣以填充平面。這創建了一個高度有序和對稱的圖案。 M.C. 的藝術作品中可以找到此類瓷磚的著名視覺示例。埃舍爾。研究人員表明，除了其吸引人的外觀外，這些反射在數學分析中也發揮著實際作用。它可用於幫助解決經典的邊值問題，例如狄利克雷問題。或諾伊曼問題
具有結構和目的的美
“我們的研究表明，數學中的美不僅僅是一個美學概念。它也是一種具有結構深度和效率的東西，”海因里希·貝格爾教授說。 “雖然之前關於曲面細分的研究主要集中在如何使用形狀來平鋪或覆蓋表面，例如諾貝爾獎獲得者羅傑·彭羅斯爵士的一些著名作品，但使用拼花反射方法創建新的曲面細分開闢了新的可能性。它提供了一種實用工具，用於開發在這些平鋪區域內表達函數的方法。這在物理、數學和工程等領域可能很有用。”
這種方法的主要成果之一是能夠導出核函數的精確公式。其中包括格林種子、諾伊曼種子和施瓦茨種子，它們有助於解決物理和工程中的邊值問題。通過將幾何圖案與分析公式聯繫起來，研究將直觀的視覺思維與嚴格的數學精度聯繫起來。
興趣日益濃厚，用途不斷擴大
十多年來，實木複合地板的反光原理越來越受到人們的關注。並且在早期職業研究人員中尤其受歡迎。自推出以來，自由大學已有 15 篇論文和期末論文關注該主題。以及其他國家的研究人員完成的其他七篇論文。
這種方法不限於熟悉的平面或歐幾里得空間。這也適用於雙曲幾何，它經常用於理論物理和現代時空模型。人們對這一領域的興趣持續增長。去年，Begehr 在《複變量和橢圓方程》雜誌上發表了一篇論文“雙曲鑲嵌：雙曲幾何中 Schweikart 三角形的調和格林函數”，其中他展示瞭如何使用 Parquet 反射原理為雙曲平面中的 Schweikart 三角形創建調和格林函數。
“我們希望我們的結果不僅能在純數學和數學物理領域產生共鳴，”王大江說，“甚至可以激發建築或計算機圖形學等領域的想法。”
柏林的瓷磚傳統
近二十年來，柏林自由大學數學研究所的海因里希·貝格爾領導的一個研究小組一直在研究所謂的“柏林玻璃瓷磚”。這種方法建立在柏林數學家赫爾曼·阿曼達斯·施瓦茨（Hermann Amandas Schwarz，1843-1921）提出的統一反射原理的基礎上。
在此方法中，球面多邊形是其邊緣由多個部分組成的形狀。從直線到圓弧，它被一次又一次地反射，直到整個平面被填滿，沒有重疊或間隙。這些設計在視覺上脫穎而出。但它也使得編寫積分函數的清晰表示成為可能。這對於解決複雜的邊值問題是必要的。
“數學家曾經不得不使用三部分鏡子來創建無限的圖像序列，”貝格說。創建相同的結果我們可以用複雜分析中使用的數學公式來補充這一點。 ”
Schweikart 三角形和雙曲幾何
雙曲空間中的棋盤尤其突出。但也存在特殊的分析挑戰。這些圖案通常出現在圓盤中，需要復雜的數學工具。該領域的主要思想是施韋卡特三角形是一種特殊類型的三角形，有一個直角和兩個零角。以業餘數學家和法學教授費迪南德·庫爾特·施韋卡特（Ferdinand Kurt Schweikart，1780-1857 年）的名字命名。
施韋卡特三角形幫助數學家將圓盤完美且均勻地排列起來。由此產生的格式令人印象深刻，可以激發計算機圖形等領域的設計人員的靈感。同時，這些建築物背後的數學基礎也非常先進，需要仔細分析。
數學作為一門視覺科學
該團隊的發現強調了數學中經常被忽視的一個方面。數學不僅僅是一門專注於符號和方程的抽象學科。它也是視覺科學。其中結構、對稱性和美學發揮著重要作用。結合現代可視化工具、圖形軟件和數字技術，這些想法更具相關性和實際影響。
